dos mil doscientos años, los
matemáticos han intentado partir de
ciertos enunciados llamados
«axiomas» y deducir luego de ellos
toda clase de conclusiones útiles.
En ciertos aspectos es casi como un
juego, con dos reglas. En primer lugar,
los axiomas tienen que ser los menos
posibles. En segundo lugar, los
axiomas tienen que ser consistentes.
Tiene que ser imposible deducir dos
conclusiones que se contradigan
mutuamente.
Cualquier libro de geometría de
bachillerato comienza con un conjunto
de axiomas: por dos puntos
cualesquiera sólo se puede trazar una
recta; el total es la suma de las partes,
etc. Durante mucho tiempo se supuso
que los axiomas de Euclides eran los
únicos que podían constituir una
geometría consistente y que por eso
eran «verdaderos».
Pero en el siglo xix se demostró que
modificando de cierta manera los
axiomas de Euclides se podían
construir geometrías diferentes, «no
euclidianas». Cada una de estas
geometrías difería de las otras, pero
todas ellas eran consistentes. A partir
de entonces no tenía ya sentido
preguntar cuál de ellas era
«verdadera». En lugar, de ello había
que preguntar cuál era útil.
De hecho, son muchos los conjuntos
de axiomas a partir de los cuales se
podría construir un sistema
matemático consistente: todos ellos
distintos y todos ellos consistentes.
En ninguno de esos sistemas
matemáticos tendría que ser posible
deducir, a partir de sus axiomas, que
algo es a la vez así y no así, porque
entonces las matemáticas no serían
consistentes, habría que desecharlas.
¿Pero qué ocurre si establecemos un
enunciado y comprobamos que no
podemos demostrar que es o así o no
así?
Supongamos que digo: «El enunciado
que estoy haciendo es falso.»
¿Es falso? Si es falso, entonces es falso
que esté diciendo algo falso y tengo
que estar diciendo algo verdadero.
Pero si estoy diciendo algo verdadero,
entonces es cierto que estoy diciendo
algo falso y sería verdad que estoy
diciendo algo falso. Podría estar yendo
de un lado para otro indefinidamente.
Es imposible demostrar que lo que he
dicho es o así o no así.
Supongamos que ajustamos los
axiomas de la lógica a fin de eliminar la
posibilidad de hacer enunciados de
ese tipo. ¿Podríamos encontrar otro
modo de hacer enunciados del tipo «ni
así ni no así»?
En 1931 el matemático austriaco Kurt
Gödel presentó una demostración
válida de que para cualquier conjunto
de axiomas siempre es posible hacer
enunciados que, a partir de esos
axiomas, no puede demostrarse ni que
son así ni que no son así. En ese
sentido, es imposible elaborar jamás
un conjunto de axiomas a partir de los
cuales se pueda deducir un sistema
matemático completo.
¿Quiere decir esto que nunca
podremos encontrar la «verdad»? ¡Ni
hablar!
Primero: el que un sistema matemático
no sea completo no quiere decir que lo
que contiene sea «falso». El sistema
puede seguir siendo muy útil, siempre
que no intentemos utilizarlo más allá
de sus límites.
Segundo: el teorema de Gödel sólo se
aplica a sistemas deductivos del tipo
que se utiliza en matemáticas. Pero la
deducción no es el único modo de
descubrir la «verdad». No hay axiomas
que nos permitan deducir las
dimensiones del sistema solar. Estas
últimas fueron obtenidas mediante
observaciones y medidas —otro
camino hada la «verdad».
Por Isaac Asimov
INFO: En 1965 el genial escritor y
divulgador científico Isaac Asimov
aceptó una oferta de la revista “Science
Digest” que consistía en responder a
preguntas formuladas por sus lectores
brevemente, en torno a 500 palabras.
Lo que un principio iba a ser una
colaboracion esporádica terminó
siendo algo mensual. Ocho años
despues, en 1973, había realizado mas
de cien entregas y decidió publicarlas
junticas en un libro, que se llamó como
la sección, “Please Explain” (Por favor,
explique) y que fue publicado por la
Editorial Houghton Mifflin Company. Ya que como sus
respuestas dependían de las
preguntas que le realizaban, sus
ensayos contienen numerosas
omisiones importantes. Ademas, por
otro lado, muchas de las ideas que
propone han quedado obsoletas o
han sido revisadas por la evolución del
conocimiento científico, así que cuando
encontremos alguna incorrección o
desfase, lo haremos saber.
FUENTE: 1973. Asimov, Isaac: “100
preguntas básicas sobre la Ciencia”.
Alianza Editorial S.A.
