no puede expresarse como producto
de dos números distintos de sí mismo
y uno. El 15 = 3 x 5, con lo cual 15 no
es un número primo; 12 = 6 x 2 = 4 x 3,
con lo cual 12 tampoco es un número
primo. En cambio 13 = 13 x 1 y no es el
producto de ningún otro par de
números, por lo cual 13 es un número
primo.
Hay números de los que no hay
manera de decir a simple vista si son
primos o no. Hay ciertos tipos, en
cambio, de los cuales se puede decir
inmediatamente que no son primos.
Cualquier número, por largo que sea,
que termine en 2, 4, 5, 6, 8 ó 0 o cuyos
dígitos sumen un número divisible por
3, no es primo. Sin embargo, un
número que acabe en 1, 3, 7 ó 9 y
cuyos dígitos sumen un número no
divisible por 3, puede que sea primo —
pero puede que no—. No hay ninguna
fórmula que nos lo diga. Hay que
ensayar y ver si se puede escribir como
producto de dos números más
pequeños.
Una manera de encontrar números
primos consiste en escribir todos los
números del 2 al más alto posible, por
ejemplo el 10.000. El primero es 2, que
es primo. Lo dejamos donde está y
recorremos toda la lista tachando uno
de cada dos números, con lo cual
eliminamos todos los números
divisibles por dos, que no son primos.
De los que quedan, el número más
pequeño después del 2 es el 3. Este es
el siguiente primo. Dejándolo donde
está, tachamos a partir de él uno de
cada tres números, deshaciéndonos
así de todos los divisibles por 3. El
siguiente número sin tachar es el 5,
por lo cual tachamos uno de cada
cinco números a partir de él. El
siguiente es el 7, uno de cada siete;
luego el 11, uno de cada once; luego el
13..., etc.
Podría pensarse que después de
tachar y tachar números llegará un
momento en que todos los números
mayores que uno dado estarán
tachados y que por tanto no quedará
ningún número primo superior a un
cierto número primo máximo. En
realidad no es así. Por mucho que
subamos en los millones y billones,
siempre quedan números primos que
han escapado a todas las tachaduras.
Ya en el año 300 a. C. demostró el
matemático griego Euclides que por
mucho que subamos siempre tiene
que haber números primos superiores
a esos. Tomemos los seis primeros
números primos y multipliquémoslos:
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30.030.
Sumando 1 obtenemos 30.031. Este
número no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11
ni 13, puesto que al dividir siempre
dará un resto de 1. Si 30.031 no se
puede dividir por ningún número
excepto él mismo, es que es primo. Si
se puede, entonces los números de los
cuales es producto tienen que ser
superiores a 13. De hecho 30.031 = 59
x 509.
Esto mismo lo podemos hacer para el
primer centenar de números primos,
para el primer billón o para cualquier
número. Si calculamos el producto y
sumamos 1, el número final o bien es
un número primo o bien es el
producto de números primos mayores
que los que hemos incluido en la lista.
Por mucho que subamos siempre
habrá números primos aún mayores,
con lo cual el número de números
primos es infinito.
De cuando en cuando aparecen
parejas de números impares
consecutivos, ambos primos: 5, 7; 11,
13; 17, 19; 29, 31; 41, 43. Tales parejas
de primos aparecen por doquier hasta
donde los matemáticos han podido
comprobar. ¿Es infinito el número de
tales parejas de primos? Nadie lo sabe.
Los matemáticos, creen que sí, pero
nunca lo han podido probar. Por eso
están interesados en los números
primos. Los números primos
presentan problemas aparentemente
inocentes pero que son muy difíciles
de resolver, y los matemáticos no
pueden resistir el desafío.
¿Qué utilidad tiene eso? Ninguna; pero
eso precisamente parece aumentar el
interés.
Un número primo es un número que
no puede expresarse como producto
de dos números distintos de sí mismo
y uno. El 15 = 3 x 5, con lo cual 15 no
es un número primo; 12 = 6 x 2 = 4 x 3,
con lo cual 12 tampoco es un número
primo. En cambio 13 = 13 x 1 y no es el
producto de ningún otro par de
números, por lo cual 13 es un número
primo.
Hay números de los que no hay
manera de decir a simple vista si son
primos o no. Hay ciertos tipos, en
cambio, de los cuales se puede decir
inmediatamente que no son primos.
Cualquier número, por largo que sea,
que termine en 2, 4, 5, 6, 8 ó 0 o cuyos
dígitos sumen un número divisible por
3, no es primo. Sin embargo, un
número que acabe en 1, 3, 7 ó 9 y
cuyos dígitos sumen un número no
divisible por 3, puede que sea primo —
pero puede que no—. No hay ninguna
fórmula que nos lo diga. Hay que
ensayar y ver si se puede escribir como
producto de dos números más
pequeños.
Una manera de encontrar números
primos consiste en escribir todos los
números del 2 al más alto posible, por
ejemplo el 10.000. El primero es 2, que
es primo. Lo dejamos donde está y
recorremos toda la lista tachando uno
de cada dos números, con lo cual
eliminamos todos los números
divisibles por dos, que no son primos.
De los que quedan, el número más
pequeño después del 2 es el 3. Este es
el siguiente primo. Dejándolo donde
está, tachamos a partir de él uno de
cada tres números, deshaciéndonos
así de todos los divisibles por 3. El
siguiente número sin tachar es el 5,
por lo cual tachamos uno de cada
cinco números a partir de él. El
siguiente es el 7, uno de cada siete;
luego el 11, uno de cada once; luego el
13..., etc.
Podría pensarse que después de
tachar y tachar números llegará un
momento en que todos los números
mayores que uno dado estarán
tachados y que por tanto no quedará
ningún número primo superior a un
cierto número primo máximo. En
realidad no es así. Por mucho que
subamos en los millones y billones,
siempre quedan números primos que
han escapado a todas las tachaduras.
Ya en el año 300 a. C. demostró el
matemático griego Euclides que por
mucho que subamos siempre tiene
que haber números primos superiores
a esos. Tomemos los seis primeros
números primos y multipliquémoslos:
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30.030.
Sumando 1 obtenemos 30.031. Este
número no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11
ni 13, puesto que al dividir siempre
dará un resto de 1. Si 30.031 no se
puede dividir por ningún número
excepto él mismo, es que es primo. Si
se puede, entonces los números de los
cuales es producto tienen que ser
superiores a 13. De hecho 30.031 = 59
x 509.
Esto mismo lo podemos hacer para el
primer centenar de números primos,
para el primer billón o para cualquier
número. Si calculamos el producto y
sumamos 1, el número final o bien es
un número primo o bien es el
producto de números primos mayores
que los que hemos incluido en la lista.
Por mucho que subamos siempre
habrá números primos aún mayores,
con lo cual el número de números
primos es infinito.
De cuando en cuando aparecen
parejas de números impares
consecutivos, ambos primos: 5, 7; 11,
13; 17, 19; 29, 31; 41, 43. Tales parejas
de primos aparecen por doquier hasta
donde los matemáticos han podido
comprobar. ¿Es infinito el número de
tales parejas de primos? Nadie lo sabe.
Los matemáticos, creen que sí, pero
nunca lo han podido probar. Por eso
están interesados en los números
primos. Los números primos
presentan problemas aparentemente
inocentes pero que son muy difíciles
de resolver, y los matemáticos no
pueden resistir el desafío.
¿Qué utilidad tiene eso? Ninguna; pero
eso precisamente parece aumentar el
interés.
De: Isaac Asimov
